Lien entre intégrale et primitive

Théorème

Le plan est muni d'un repère orthogonal.   Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a. 
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a~;~b]\) .
On considère la fonction \(F_a\) définie sur \([a~;~b]\) par  \(\boxed{F_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\text d t}\) .
Alors, la fonction \(F_a\)  est la primitive de \(f\) sur   \([a~;~b]\)  qui s’annule en \(a\) .

Autrement dit, \(F_a(a)=0\) et la fonction \(F_a\) est dérivable sur \([a~;~b]\) et, pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\) , on a \(F_a'(x)=f(x)\) .

Démonstration   Cas où \(f\) est croissante sur \([a~;~b]\)

Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Soit \(f\) une fonction continue, positive et croissante sur \([a~;~b]\) .
Soit \(F_a\) la fonction définie sur \([a~;~b]\) par  \(F_a(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\text d t\) .
Pour tout \(x\) de l'intervalle \([a~;~b]\) , \(F_a(x)\) est l'aire sous la courbe \(\mathscr C\) de la fonction  \(f\) entre \(a\) et \(x\) , en unité d'aire.
On a \(F_a(a)=\displaystyle \int_a^af(x)\text d x = 0\) .
On fixe \(x_0\) dans \([a~;~b]\) .
\(F_a(x_0)\) est l'aire sous la courbe  \(\mathscr C\) entre \(a\) et \(x_0\) .

Pour \(h\neq 0\) tel que \(x_0+h\in[a~;~b]\) , on définit le taux de variation de \(F_a\) entre \(x_0\) et \(x_0+h\)  par  \(\tau(h)=\dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}\) . On cherche à l'encadrer.
\(F_a(x_0+h)\)   représente  l'aire sous la courbe  \(\mathscr C\) entre  \(a\) et \(x_0+h\) .

• Soit \(h>0\) . \(F_a(x_0+h)-F_a(x_0)\) représente la différence des aires précédentes, c'est-à-dire l'aire sous la courbe \(\mathscr C\) entre \(x_0\) et \(x_0+h\) .
  
• Cette aire est alors encadrée par les aires des rectangles de largeur  \(h\) (entre les abscisses \(x_0\)  et  \(x_0+h\) ) et de hauteurs respectives  \(f(x_0)\) et \(f(x_0+h)\) .
  
• On obtient donc l'encadrement suivant :  \(hf(x_0) \leqslant \displaystyle \int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\text dt \leqslant hf(x_0+h)\) .
  Soit  \(hf(x_0) \leqslant \displaystyle F_a(x_0+h)-F_a(x_0) \leqslant hf(x_0+h)\) .
  D'où,  \(f(x_0)\leqslant \tau(h)\leqslant f(x_0+h)\) .
  Or, comme \(f\) est continue sur   \([a~;~b]\) , on a  \(\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x_0+h)=f(x_0)\) .
  Alors, d'après le théorème des gendarmes, on a \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h} =f(x_0)\) .
  Ceci signifie que  \(F\)   est dérivable en \(x_0\) et \(F'(x_0)=f(x_0)\) .
  
• Si \(h<0\) , on raisonne de la même façon en considérant \(F_a(x_0)-F_a(x_0+h)\) .
  

Conclusion
La fonction \(F\) est la primitive de  \(f\) sur \([a~;~b]\) qui s'annule en \(a\) .